Analitik (analitik_tomsk) wrote in m_introduction,
Analitik
analitik_tomsk
m_introduction

Categories:

Математика в философском образовании. Ч.1.

1 марта 2013 г. в 2:51

На постсоветском пространстве математика и философия все больше отчуждаются, хотя математика сохраняется в учебных планах специальности ‘философия’, а последняя остается обязательной для всех студентов.

мат2

Преподавание математики гуманитариям сталкивается с рядом проблем. Прежде всего, это недостаточная математическая подготовка выпускников, «вектор» профориентации которых направлен в сторону от точных наук.

Особую сложность представляет изложение математики философам, которое должно существенно отличаться от преподавания ее на всех иных специальностях.
Соответствующий курс обязан включать описание развития математической мысли (за две с половиной тысячи лет!) в увязке с философской проблематикой.
Будущему философу необходимо иметь концептуальный взгляд на математику, а не просто освоить приемы решения некоторых типов задач (что типично для технических вузов).

В принципе, речь может идти лишь о математической пропедевтике.
Но если философская пропедевтика получает дальнейшее развитие в многочисленных последующих курсах на философском факультете, то математика являет собой разовую «инъекцию». При этом возникает дидактический парадокс: точную науку приходится излагать приблизительно.

Литература по философии математики достаточно обширна (философия науки весьма почиталась в советские времена). Но чрезвычайная редкость, чтобы математики писали специально для философов (скорее уж для гуманитариев широкого профиля).

В данной публикации мы попытаемся остановиться на ряде узловых моментов курса, опираясь, в частности, на собственный опыт преподавания математики на философском факультете Харьковского национального университета им. В.Н. Каразина.
Предлагаемую статью можно рассматривать и как пояснительную записку к построению курса математики для философов, и как вводную лекцию для студентов, и как сжатый конспект лекций.

Философию и математику многое роднит. Прежде всего, у них общее происхождение, восходящее к древнегреческой «мудрости». Как философия, так и математика оперируют абстракциями, не контактируя непосредственно с внешним миром.
Многие понятия находятся в общем поле их интересов: число, бесконечность, множественность, непрерывность (континуум) и т.д.

Но гораздо большее философию и математику разделяет. Математика суха, педантична; философия ярка, образна. Математика, преимущественно, замкнута в себе; философия же стремится охватить весь мир. История философии неотделима от ее современного состояния. Для математики диахрония второстепенна; эта наука представляет собой логизированную синхронию. Философские вопросы находятся на периферии математики; математические проблемы неподвластны философии. Озабоченность философии вечными темами противостоит интересу математики к актуальным задачам. Философы любят проблемы обсуждать, математики задачи решают. Например, апории Зенона (V в. до н.э.) «Дихотомия» и «Ахиллес и черепаха», до сих пор беспокоящие философов, элементарно объясняются в терминах сходящегося ряда (бесконечно убывающей геометрической прогрессии).

Математика являет собой «чистое» знание, вызывая подозрения в беспредметности. На самом же деле, математические формы могут вмещать многообразное содержание, а математические структуры способны моделировать различные процессы и ситуации.

Философия и математика представляют полярные стили, формы мышления. Первая правополушарна, вторая – левополушарна. Строгость для математики – правило, для философии – исключение. Во «всеобщей математике» («mathesis universalis») Декарт видел образец для всех наук, признавая основным методом доказательства дедукцию. Сходную мысль развивал Лейбниц: «универсальная математика» должна заниматься «всем, что в области воображения поддается точным определениям». Проект же «философии как строгой науки» (Гуссерль) в последнее время популярностью не пользуется.

Предмет математики и ее связь с философией лучше всего прослеживаются в историческом плане.

Хорошо известны слова Пифагора: «Все есть число». Платон, наряду с числами, к основным математическим объектам относил и фигуры. Выдающемуся немецкому математику Кронекеру приписывают слова: «Бог создал натуральные числа, все остальное дело рук человека».

Расширение числового многообразия шло негладко. Если дробные (рациональные) числа еще воспринимались вполне осмысленно (рационально), то нуль и отрицательные числа долгое время казались нереальными – их называли «вымышленными», «невозможными», «фиктивными», «ложными».

Крушением пифагорейской гармонии стало открытие в конце V века до н.э. несоизмеримости диагонали квадрата с его стороной, что означает иррациональность корня квадратного из двух. Об этих проблемах размышляет заглавный герой платоновского диалога «Теэтет». Показательно родство между геометрическими фрагментами диалога «Теэтет» и Х книги «Начал» Евклида.

Сущность чисел типа квадратного корня из двух антиномична. С одной стороны, на рисунке квадрата его сторона и диагональ равным образом реальны. Но если говорить о числе, которое, будучи возведено в квадрат, оказывается равным числу 2, то оно не может быть целым. А несложные арифметические рассуждения показывают, что это число не может быть и рациональным. Так, что же это за феномен?!

В дальнейшем ходе развития математики выяснилось, однако, что в иррациональных числах нет ничего мистического. Правда, строгое построение теории действительных чисел было осуществлено лишь в конце XIX века (Вейерштрасс, Кантор, Гейне). Действительные числа стали представлять особыми множествами рациональных чисел (сечениями Дедекинда, последовательностями Коши и т.п.) При этом сами рациональные числа отождествлялись с некоторыми простейшими типами таких подмножеств.

В начале XIX века победно завершилась экспансия мнимых чисел, начавшаяся еще в XVI веке. Дело в том, что решение квадратных уравнений приводило к извлечению корня квадратного из минус единицы. Этот «объект», названный «мнимой единицей» и обозначаемый ныне как «i», был введен в алгебру Бомбелли, который был вынужден использовать для него нотацию «pui di meno» («плюс из минуса»). Термин imaginaire впервые употребил в своей «Геометрии» (1637 г.) Декарт, который понимал «мнимости» как «идеальные» элементы, формально присоединенные к «действительной» области.

В комбинации с действительными числами мнимые числа образуют «комплексные» числа, статус которых оставался сомнительным до тех пор, пока не было осознано наличие взаимно однозначного соответствия между комплексными числами вида а + вi и точками плоскости (векторами) с координатами а и в. При этом число i началь представлять вектором единичной длины, лежащим на оси ординат (подобный подход может быть назван геометрическим «реализмом»).

Далее в обиход вошли кватернионы (Гамильтон), матрицы (Сильвестр, Кэли), другие «гиперкомплексные» системы (в том числе, и некоммутативные), что способствовало возникновению современной алгебры. Алгебра переставала рассматриваться как наука о решении уравнений. Интерес смещался с одиночных элементов на их совокупности. Основным предметом изучения становились не сами объекты, а операции над ними и законы, которым они удовлетворяют. В конечном итоге, это привело к возникновению понятия алгебраической структуры.

Нужно сказать, что появление разного рода «мнимостей», «кажимостей» сопровождало всю историю математики. В проективной геометрии, например, чрезвычайно полезной оказалось понятие «бесконечно удаленной точки». В XIX веке были открыты многие экзотические геометрические конструкции, в том числе «лента Мёбиуса» и «бутылка Клейна».

В XIX веке объекты, с которыми имели дело математики, в частности, функции, существенно усложнялись. Например, в математическом анализе появилась возможность строить функции в виде бесконечных степенных рядов, получать их с помощью предельных переходов. Шли споры, является ли та или иная функция полноценной. В частности, проблемной казалась функция Дирихле, значение которой в рациональных точках равно 1, а в иррациональных – 0.

Математическое поле интенсивно расширялось, что приводило к проникновению в него тех или иных «монстров». Однако они быстро приручались, способствуя вызреванию новых математических теорий.

Великий математик и философ Декарт отождествил точку плоскости с парой действительных чисел (координат этой точки). При этом прямые линии представлялись линейными уравнениями, а приводившая в восхищение многих философов окружность задавалась уравнением второй степени. Подобная арифметизация устраняет пространственное созерцание, как бы аннулируя “геометрический смысл”. В то же время она открывает возможность возникновения нового направления – «алгебраической геометрии».

Но что такое пара вообще? На уровне здравого смысла упорядоченная пара – это два элемента а и в, расположенные таким образом, что один из них является первым, а другой вторым: (а, в). Иными словами, попытка объяснить, что такое упорядоченная пара, упирается в необходимость использовать все то же понятие пары. Возникающий логический круг разрывается благодаря тому, что пара признается первичным понятием теории множеств.

Отметим, что в современной математике на основе понятия упорядоченной пары вводится фундаментальная конструкция декартова произведения двух множеств – как множества всех упорядоченных пар элементов этих множеств. А на базе декартова произведения вводятся важнейшие понятия отношения и функции.

Термин «множество» («класс», «совокупность», «группа» и т.п.) долгое время использовался некритически. В философском духе «множество» можно определить, как «многое, мыслимое единым».

Первый (называемый «наивным») вариант теории множеств был предложен немецким математиком Георгом Кантором (конец XIX века), который под множеством понимал «объединение в одно общее объектов, хорошо различаемых нашей интуицией или нашей мыслью». Для задания множества следует указать условие принадлежности ему элемента. В известном смысле множество равноположено свойству (предикату): для любого свойства можно образовать множество элементов, обладающих этим свойством, а для любого множества принадлежность ему представляет некоторое свойство. Тем самым, устанавливается некий параллелизм теории множеств и логики предикатов; это косвенно подтверждают диаграммы (круги) Эйлера, вошедшие в обиход задолго до возникновения теории множеств.

Важность теории множеств была осознана и в образовательной среде –теоретико-множественный язык начал использоваться в школьном курсе математики. Еще более важное значение имеет внедрение теории множеств в высшую школу.

Косвенным стимулом возникновения теории множеств явилась проблема бесконечности, органичная для метафизики. В математике же чаще использовалось прилагательное «бесконечный», чем существительное «бесконечность» (побуждающее видеть за ним некую предметность). Заметим, что наличие в математическом анализе словесного оборота «предел при n, стремящемся к бесконечности» само по себе не свидетельствует о существовании объекта под названием «бесконечность».

В то же время любое бесконечное множество некоторым образом репрезентирует «бесконечность». Фиксированное бесконечное множество можно представить себе как некую «актуальную бесконечность», а растущую последовательность элементов (неважно какой природы) – как «потенциальную бесконечность». Таким образом, проблематика «бесконечности» оказалась снятой математической теорией множеств.

Широкое разнообразие бесконечных множеств побуждало их сравнивать. С этой целью Кантор ввел понятие «мощность множества» («кардинальное число»), обобщающее количество элементов конечного множества. Выяснилось противоречащее здравому смыслу обстоятельство: мощность множеств натуральных, целых, рациональных чисел одна и та же (множества, элементы которых можно пронумеровать, стали называться счетными). Мощность же множества действительных чисел (мощность континуума) оказалась больше мощности множества натуральных чисел.

На рубеже XIX– XX веков в «наивной» теории множеств Кантора, претендовавшей на универсальный язык математики, Бурали-Форти, сам Кантор, Рассел, Цермело, Ришар обнаружили парадоксы. Причину этого усматривали в бесконтрольном использовании понятия «множество». Избавление от противоречий пытались найти на пути формализации теории. На сегодняшний день в качестве стандартной признается система аксиом Цермело-Френкеля (вопрос о непротиворечивости которой до сих пор остается предметом веры). Наиболее знаковой является здесь «аксиома выбора» Цермело (1904), плохо подтверждаемая интуицией. В 1962 г. появилась «аксиома детерминированности», более согласованная с интуитивными представлениями. В то же время следствия «аксиомы детерминированности», как правило, противоречат следствиям «аксиомы выбора».

Одной из основных проблем теории множеств (поставленной Кантором и зафиксированной как одна из «проблем Гильберта») была проблема существования промежуточной мощности между счетной мощностью и мощностью континуума. Эту задачу решил в 1960 г. Пол Коэн, установивший независимость континуум-гипотезы от остальных аксиом теории множеств. Полученный результат напоминает ситуацию с независимостью «Аксиомы о параллельных» Евклида. Однако создание неевклидовых геометрий выглядит куда безобиднее неоднозначности, возникающей в основаниях математики.

Удивительно, что анализ оснований математики (своего рода математическая рефлексия) начался лишь в конце XIX века, – выходит, что более двух тысяч лет математика не ощущала потребности иметь прочный фундамент! Обсуждение проблем, касающихся устройства математики как таковой, означают обращение к метаматематике. Близкая математической логике, метаматематика использует и чисто математический аппарат. Но доказательства в метаматематике обязаны иметь финитный характер (требуемый интуиционистами). Отметим для сравнения, что иногда говорят и о метафилософии, обсуждая вопрос, входит она в философию или нет?

Продолжение текста.
Tags: Математика, Методология
Subscribe

  • Post a new comment

    Error

    Anonymous comments are disabled in this journal

    default userpic
  • 0 comments