Analitik (analitik_tomsk) wrote in m_introduction,
Analitik
analitik_tomsk
m_introduction

Categories:

Математика в философском образовании. Ч. 2.

Головокружительные высоты, на которые поднималась математика, обостряли проблему онтологии математических объектов. К проблеме бытия в математике обозначилось несколько альтернативных подходов.

мат1

Эмпиризм
сводит все положения математике к чувственно данному. Еще Демокрит мыслил математическое как физическую реальность. Аристотель считал, что математика исследует «существующее не самостоятельно, а относящееся к материи». Согласно Дж. Ст. Миллю, «все числа должны быть числами чего-либо, нет чисел вообще, в отвлечении».

Многие математики неявно разделяют концепцию реализма, рассматривающего математические объекты как существующие в особом мире, данные объективно, независимо от нашего знания о них.

Вариантом реализма выступает платонизм. По Платону, геометрические фигуры «сами по себе» воспринимаются «мысленным взором», а не посредством чертежа. В платонизме математические понятия – это особые сущности между феноменальным миром (миром материальных вещей, событий, процессов) и нуоменальным миром (миром идей, эйдосов), а математическое познание – подступ к философскому познанию.

Вариантом реализма является и логицизм (Дедекинд, Фреге, Рассел, Уайтхед, Карнап), пытающийся укоренить математический универсум в мире логики. Идеи этой программы вырастают из «Calculus ratiocinator» Лейбница.

Реализму противостоит формализм (Гильберт, Аккерман, Бернайс, фон Нейман), считающий, что математические объекты осмыслены лишь внутри математических теорий, в рамках системно организованных понятий. Соответственно, математические образования вовсе не обязаны соответствовать наглядным представлениям. Они обязаны быть консистентны, согласованы внутри себя. Как подчеркивал Гильберт, несущественно, что «на самом деле» представляют точки и прямые, – важно, чтобы они удовлетворяли всему тому, что заложено в аксиоматике. Вопрос об онтологии математических объектов тем самым был переведен в иную плоскость – функционального назначения объектов, их отношений между собой.

Радикальное решение проблемы бытия в математике, разделяемое большинством ученых, предложил Гильберт: существовать – значит быть непротиворечивым. Альтернативным формализму вариантом решения проблемы бытия выступал конструктивистский подход: существовать – значит быть эффективно построенным (желательно, алгоритмически – за конечное число шагов). Но в результате столь категорических требований мир конструктивистской математики оказывается чрезвычайно беден.

За «игру бессодержательными символами» резко критиковали формализм и интуиционисты (Брауер, Вейль, Гейтинг). Критерием истины для них являлась «изначальная» интуиция, по рецептам которой строятся «подлинные» объекты. Соответственно, интуиционизм отвергает «актуальную бесконечность» и закон исключенного третьего.

Гильбертовский либерализм в вопросе существования компенсируется жесткостью по части доказуемости. Если под практикой в математике подразумевать деятельность по доказательству теорем, то уместно вспомнить тезис Маркса: «Практика – критерий истинности». Тем самым, математика вписывается в принятый в марксизме деятельностный подход. Однако объяснять прогресс науки лишь практическими требованиями (как это делалось в советской философии) наивно.

Деятельность противостоит созерцанию: деятельность активна, созерцание пассивно. Идеал философского созерцания не претерпел особых изменений за две с лишним тысячи лет. Эволюция же математики шла от наглядности (интуитивности) к дискурсивности.

Опыт обращения с математическими объектами подводит к мысли об их идеальности, хотя дискуссии по проблеме «идеального» идут в философии до сих пор. Идеальное воплощается в абстракциях, чистых формах (структурах), не имеющих предзаданного смысла или содержания. Идеальность математических объектов связана и с условностью – обусловленностью правилами игры, принятыми в математическом сообществе. К «идеальным высказываниям» Гильберт относил предложения, использующие абстракцию актуальной бесконечности.

В построении любой науки важную роль играют определения. Дефиниция каждого нового понятия дается с использованием ранее имеющихся. Процесс «распутывания» определения (подобно тому, как это делается при разворачивании доказательства теоремы) завершается через конечное число ходов. При этом мы сталкиваемся с понятиями, которые не выражаются через другие, т.е. с первичными понятиями. Набор первичных понятий, наряду со списком аксиом, составляет базис математической теории.

С помощью определений вводятся новые объекты. Но само по себе определение не приводит к возникновению объекта. Если соответствующий объект не удается построить конкретно, то прибегают к «чистому» (абстрактному) доказательству существования. К таковым относятся, например, доказательства существования пределов. Подобные доказательства часто стоятся по принципу «от противного».

Отметим, что у Евклида исходное определение: «точка – это то, что не имеет частей», на самом деле, является фикцией. Неудивительно, что указанное интуитивное свойство точки никак не используется в тексте «Начал».

Особую роль в науке играет истина. Наряду с ДОБРОМ и КРАСОТОЙ ИСТИНА входит в базовую систему человеческих ценностей. В философии имеется несколько подходов к трактовке истины (корреспондентский, когерентный, конвенционалистский и др.)

В математике понятие истины тоже детализируется разными способами. С одной стороны, истину можно рассматривать в аспекте дедукции, понимая ее как выводимость. Этот подход соотносится с синтактикой. С другой стороны, истину можно толковать как общезначимость, т.е. справедливость во всех интерпретациях (моделях). Подобный подход имеет семантический характер. Определенную проблему представляет здесь исходящая из установки истинности на всеобщность ее ориентация на «бесконечность».

Философия и математика различаются не только подходом к истине, но и характером аргументации. Философ не столько доказывает, сколько пробует убедить, используя разнообразные методы воздействия. Обоснованность же и строгость математики никогда не ставились под сомнение. В то же время каждое новое поколение математиков совершенствовало методы предшественников.

Дедуктивный подход к математике впервые предложил философ Фалес из Милета (625–547 гг. до н.э.). Научная революция в Древней Греции стала возможной благодаря высокому уровню логической культуры, достигнутому в философии и юриспруденции. Основоположник логики Аристотель установил, что доказательное рассуждение должно подчиняться определенным заранее заданным правилам (называемым «правилами вывода»). И тысячу лет спустя Галилей признавал, что его метод «заключается в рассуждениях и переходах от заключения к заключению». В современной математике «доказательство» имеет конкретный смысл – это конечная последовательность шагов, приемов, ведущая от условий (посылок) теоремы к ее заключению (следствию).

Дедуктивный подход связан с аксиоматическим построением теории. Обратный процесс разворачивания доказательства любой теоремы, т.е. переход от одних вспомогательных утверждений к другим (установленным ранее), обрывается через конечное число шагов. Это происходит на тех положениях, которые уже невозможно вывести из других и которые называются аксиомами.

Отметим, что на вопрос о сути аксиомы часто дается не вполне верный ответ: «это то, что не требует доказательства». Правильнее сказать, что аксиомы – это положения, принимаемое в качестве исходных, основополагающих.

Первая попытка аксиоматического подхода была предпринята в «Началах» Евклида. Систематическое построение геометрии завершил Гильберт в своей книге «Основания геометрии» (1899). Он ввел шесть первичных понятий. Среди них три «системы вещей»: «точка», «прямая», «плоскость» и три типа отношений:  «инцидентность», «конгруентность», «между») Кроме того, было постулировано шесть групп аксиом: «аксиомы соединения», «аксиомы порядка», «аксиомы конгруентности», «аксиома о параллельных», «аксиомы непрерывности».

Со времен античности до начала ХІХ века (в том числе, для Канта) аксиомы геометрии считались очевидными, а евклидова геометрия – единственно возможной. Открытие неевклидовых геометрий заставило по-новому взглянуть на построение математических теорий. С современной точки зрения, вопрос об истинности аксиоматической теории в принципе не стоит (об истинности речь заходит на уровне приложений теории).

К системам аксиом и к соответствующим дедуктивным системам предъявляются определенные требования.

Независимость системы аксиом предполагает, что ни одну из аксиом системы невозможно вывести из других ее аксиом. Свойство независимости имеет скорее эстетический, нежели практический характер. Независимости «Аксиомы о параллельных» от других аксиом планиметрии обязаны своим возникновением неевклидовы геометрии. Окончательное признание они получили, когда Бельтрами и Клейну удалось построить евклидовы модели неевклидовых геометрий.

Наиболее важным требованием к аксиоматической системе (теории) является ее непротиворечивость, что означает невозможность доказательства в ней некоторого высказывания вместе с его отрицанием. Идею построения классической математики в виде формальной теории, для которой можно было бы установить ее непротиворечивость, выдвинул Д. Гильберт. Непротиворечивость (как синтаксический феномен) вытекает из наличия модели теории (т.е. семантической непротиворечивости).

Моделью теории является любая описываемая ею сфера (структура). Наличие модели как бы повышает «реальность» теории. Но зачастую элементы модели одной теории принадлежат другой формальной теории. Соответственно, происходящая редукция не выводит из области идеального.

Отметим, что для евклидовой геометрии относительную непротиворечивость устанавливает ее декартова модель. Другими словами, непротиворечивость геометрии сводится к непротиворечивости теории действительных чисел. Последняя, в свою очередь, сводится к непротиворечивости теории натуральных чисел. Однако здесь редуцирование обрывается и во Второй теореме Гёделя выясняется, что доказать непротиворечивость арифметики (не выходя за ее пределы) оказывается невозможным. Это открытие, сделанное в 1931 г., имело шокирующее воздействие. Фактически, оно означало, что непротиворечивость теории натуральных чисел является символом веры (хотя и подтверждаемым каждодневной математической практикой). В известном смысле, это приравнивает математику к религии; в роли священного писания в этом случае выступает корпус математических текстов.

Еще одно фундаментальное свойство дедуктивной системы – полнота (содержательно понимаемая как наличие достаточно большого числа теорем). Теория называется полной, если любое высказывание этой теории либо его отрицание является теоремой. В 1921 г. Пост установил полноту исчисления высказываний, а в 1930 г. Гёдель доказал полноту исчисления предикатов.

С другой стороны, установленная в 1931 г. «Первая теорема Гёделя» (о неполноте) утверждает, что непротиворечивая формальная система, содержащая теорию натуральных чисел, не полна. Гёделю удалось указать, хотя и неявно, истинное (общезначимое), но не доказуемое арифметическое высказывание. Идея состояла в том, чтобы построить формулу, означающую свою собственную ложность, т.е. конструктивно использовать хорошо известный философам парадокс лжеца. В итоге, теорема Гёделя о неполноте показала неосуществимость программ формализма и логицизма.

Тем не менее, вопреки мнению отдельных философов, математика не находилась и не находится в кризисе. Проблемы, возникавшие на протяжении всей ее истории, представляют собой лишь трудности роста.

В конечном счете, основными объектами математики оказались признаны математические структуры, т.е. множества, с заданными на них отношениями (функциями). Подобный взгляд на математику интересно сопоставить с философским структурализмом. Интересно, что Декарт, отмечая единство математики, подчеркивал, что все ее разделы «исследуют только различные, встречающиеся в них отношения или пропорции».

Приведенный экскурс в историю математики показывает, что студентам-философам требуется предваряющее знание логики едва ли не в большем объеме, чем математикам. К сожалению, в учебном плане философского факультета ХНУ не удается поставить односеместровый курс математики после трехсеместрового курса логики. К тому же, на философских кафедрах невозможно найти специалистов по современной математической логике.

Математическая логика и математика, на первый взгляд, чрезвычайно далеки от сферы культуры. Тем более важно подчеркнуть, что излагать математику философам следует в широкой гуманитарной перспективе. Математику можно рассматривать как составляющую «третьего мира» Карла Поппера. Будучи наукой, математика – плоть от плоти культуры, духовной деятельности. В историческом плане это видно на примере мистических учений о числе. В ряде случаев математика сообщалась с нумерологией, эзотерикой, религией. Подобно литературе, математика имеет дело с воображаемым. Как и изящные искусства, она дарит удовольствие от формы.

Математика может ассоциироваться с игрой (головоломкой), правда, с максимально четкими и строгими правилами. Подобный взгляд характерен для философа Йохана Хейзинги и математика Германа Вейля. Если смотреть на математику как на игру, то природа ее объектов перестает быть существенной. Отпадает и проблема, какое течение в ней является единственно верным – формализм, логицизм, интуиционизм? Различные версии можно выбирать и по потребностям, и по своему вкусу.

Часто говорят, что математика – это башня из слоновой кости, подразумевая, что для окружающих неведомо, что там творится. Отчасти это связано с особенностями математического языка, который нередко называют «птичьим». Действительно, современная математика использует специфический (формальный) язык, вписанный в естественный язык. В основе этого языка лежит логический символизм. Кроме того, каждый раздел математики пополняется необходимыми ему специальными терминами. Наиболее выразительными средствами богат язык теории множеств, самым бедным остается язык арифметики.

Следует четко различать язык самой математики и метаязык (язык метаматематики). Последний должен быть слабее исходного языка. Например, в тезаурус математики входят выражения: «простое число», «треугольник», «предел», «аналитическая функция», «уравнение, разрешимое в радикалах». В словаре метаязыка содержатся: «истина, «аксиома», «доказательство», «теорема», «модель». Термин «множество» присутствует в обоих словарях.

Актуальность языковой проблематики подчеркивается и постоянной необходимостью обращения к понятиям синтаксиса и семантики, а значит, семиотики. Знаковая природа математики проявляется и на уровне суждений, и на уровне моделей. Вопрос о природе математических объектов может рассматриваться в контексте связи денотата (референта) и концепта (понятия, смысла) слов математического языка. Основная мысль: природа объектов математики сводится к свойствам соответствующих понятий.

Становится ясно, сколь значительную роль играет лингвистическая проблематика в философии математики. К суждению Хайдеггера «Язык – дом бытия», следует добавить, что язык – каркас  математики.

В заключение, уместно вспомнить слова не мистифицирующего числа Пифагора, а критически мыслящего Протагора: «Человек есть мера всех вещей». Бесспорно, философия и математика существенно антропологичны.

В данной публикации мы пытались показать, в какой мере переплетены философия и математика, сколь сложно выстроить курс математики на философском факультете и как нелегко донести его до студентов.

В целях совершенствования учебного процесса было бы целесообразно: 1) при приеме на философский факультет учитывать тест по математике; 2) расширить раздел «История математики» в курсе «История науки и техники»; 3) инициировать для магистров спецкурс «Философия математики».

Владимир Калюжный
Tags: Математика, Методология
Subscribe

  • Post a new comment

    Error

    Anonymous comments are disabled in this journal

    default userpic
  • 1 comment